Задание 772

Решим систему: из уравнения прямой \(y = 4 - x\), тогда

\(x^2 - 6x + 8 = 4 - x\), \(x^2 - 5x + 4 = 0\), \(x_1 = 1\), \(x_2 = 4\); \(y_1 = 3\), \(y_2 = 0\).

Два решения — графики пересекаются в двух точках.

Иллюстрация: парабола с вершиной \((3;\ -1)\) и нулями 2 и 4, ветви вверх; прямая проходит через \((0;\ 4)\) и \((4;\ 0)\) и пересекает левую ветвь в точке \((1;\ 3)\), правую — на оси \(x\), в точке \((4;\ 0)\).

Из уравнения прямой \(y = 4 - x\), тогда \(\dfrac{3}{x} = 4 - x\), \(3 = 4x - x^2\) (\(x \ne 0\)), \(x^2 - 4x + 3 = 0\), \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\); \(y_1 = 3\), \(y_2 = 1\).

Графики пересекаются в двух точках.

Иллюстрация: ветвь гиперболы в I четверти проходит через \((1;\ 3)\), \((3;\ 1)\); прямая через \((0;\ 4)\) и \((4;\ 0)\) отсекает от неё дугу между этими точками. С ветвью в III четверти прямая не встречается: там \(x + y < 0\).

Вычтем из первого уравнения второе:

\(x^2 - (x - 3)^2 = 3\), \(6x - 9 = 3\), \(x = 2\).

Тогда \(y^2 = 4 - 4 = 0\), \(y = 0\). Решение одно — \((2;\ 0)\): окружности касаются.

Иллюстрация: окружность радиуса 2 с центром в начале координат и окружность радиуса 1 с центром \((3;\ 0)\). Расстояние между центрами \(3 = 2 + 1\) — сумма радиусов, поэтому окружности касаются внешним образом в точке \((2;\ 0)\).

Из уравнения прямой \(x = 3 - 2y\), тогда \(x - 1 = 2 - 2y\):

\((2 - 2y)^2 + (y - 2)^2 = 4\),

\(4 - 8y + 4y^2 + y^2 - 4y + 4 = 4\), \(5y^2 - 12y + 4 = 0\).

\(D = 144 - 80 = 64\), \(y = \dfrac{12 \pm 8}{10}\) — \(y_1 = 2\), \(y_2 = 0{,}4\); \(x_1 = -1\), \(x_2 = 2{,}2\).

Прямая пересекает окружность в двух точках.

Иллюстрация: окружность с центром \((1;\ 2)\) радиуса 2; прямая проходит через \((3;\ 0)\) и \((-1;\ 2)\) — точку на левом краю окружности — и выходит из круга в точке \((2{,}2;\ 0{,}4)\).