Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли парабола y = x² - x + 4 и гипербола y = 4/x; если да, найдите точки пересечения.

Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, Упражнения для повторения курса 7–9 классов, задание 774

Задача 1

Условие (кратко)

Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли парабола $$y = x^2 - x + 4$$ и гипербола $y = \dfrac{4}{x}$ ; если да, найдите точки пересечения.

Решение

Решим уравнение $x^2 - x + 4 = \dfrac{4}{x}$ ( $x \ne 0$ ):

$$x^3 - x^2 + 4x - 4 = 0$$ , $$x^2(x - 1) + 4(x - 1) = 0$$ , $$(x - 1)(x^2 + 4) = 0$$ .

$$x^2 + 4 > 0$$ , поэтому единственный корень $$x = 1$$ , $$y = 4$$ .

Иллюстрация: парабола с вершиной $(0{,}5;\ 3{,}75)$ , ветви вверх, целиком выше оси $$x$$ ; поэтому с ветвью гиперболы в III четверти общих точек нет. Ветвь в I четверти убывает, парабола при $$x > 0{,}5$$ возрастает — они встречаются один раз, в точке $(1;\ 4)$ .

Парабола с вершиной (0,5; 3,75), ветви вверх, и гипербола y = 4/x с ветвями в I и III четвертях. Графики имеют одну общую точку (1; 4). — Парабола лежит выше оси x, поэтому встречает только правую ветвь гиперболы — в точке (1; 4).

Ответ

Пересекаются в одной точке (1; 4)

Почему так

Абсциссы общих точек — корни уравнения, полученного приравниванием правых частей.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).