Задача 1
Условие (кратко)
При каком значении \(a\) система \(x + 3y = 2\), \(xy = a\) имеет единственное решение?
Решение
Из первого уравнения \(x = 2 - 3y\). Подставим во второе:
\((2 - 3y)y = a\), \(3y^2 - 2y + a = 0\).
Каждому корню \(y\) соответствует ровно одно \(x\), поэтому система имеет единственное решение, когда это квадратное уравнение имеет один корень: \(D = 4 - 12a = 0\), \(a = \dfrac{1}{3}\).
Тогда \(y = \dfrac{1}{3}\), \(x = 1\) — прямая касается гиперболы \(xy = \dfrac{1}{3}\) в точке \(\left(1;\ \dfrac{1}{3}\right)\).
Ответ
При a = 1/3
Почему так
Единственное решение — когда квадратное уравнение после подстановки имеет дискриминант, равный нулю.
Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».