Задача 1
Если от числителя и знаменателя дроби отнять по единице, она увеличится на \(\dfrac{1}{6}\); если прибавить по единице — уменьшится на \(\dfrac{1}{10}\). Найдите дробь.
Решение
- \(\dfrac{a - 1}{b - 1} = \dfrac{a}{b} + \dfrac{1}{6}\)
- \(\dfrac{a + 1}{b + 1} = \dfrac{a}{b} - \dfrac{1}{10}\)
- дробь \(\dfrac{a}{b}\)
Упростим разности:
\(\dfrac{a - 1}{b - 1} - \dfrac{a}{b} = \dfrac{b(a - 1) - a(b - 1)}{b(b - 1)} = \dfrac{a - b}{b(b - 1)}\), \(\quad \dfrac{a + 1}{b + 1} - \dfrac{a}{b} = \dfrac{b - a}{b(b + 1)}\).
Получаем систему:
\(\begin{cases} 6(a - b) = b(b - 1), \\ 10(a - b) = b(b + 1). \end{cases}\)
Из обоих уравнений выразим \(a - b\) и приравняем: \(\dfrac{b(b - 1)}{6} = \dfrac{b(b + 1)}{10}\). Так как \(b \ne 0\), \(10(b - 1) = 6(b + 1)\), \(4b = 16\), \(b = 4\).
Тогда \(a - b = \dfrac{4 \cdot 3}{6} = 2\), \(a = 6\). Дробь — \(\dfrac{6}{4}\).
Проверка: \(\dfrac{5}{3} - \dfrac{6}{4} = \dfrac{20 - 18}{12} = \dfrac{1}{6}\); \(\dfrac{6}{4} - \dfrac{7}{5} = \dfrac{30 - 28}{20} = \dfrac{1}{10}\).
Сокращать дробь здесь нельзя: в задаче действия выполняются над числителем и знаменателем. Для \(\dfrac{3}{2}\) условие не выполняется: \(\dfrac{2}{1} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2} \ne \dfrac{1}{6}\). По величине дробь равна \(1{,}5\), но искомая запись — именно \(\dfrac{6}{4}\).
Ответ
Изменение дроби выражаем через числитель и знаменатель и получаем систему уравнений второй степени.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».