Задача 1
Если от числителя и знаменателя дроби отнять по единице, она уменьшится на \(\dfrac{1}{10}\); если прибавить по единице — увеличится на \(\dfrac{1}{15}\). Найдите дробь.
Решение
- \(\dfrac{a - 1}{b - 1} = \dfrac{a}{b} - \dfrac{1}{10}\)
- \(\dfrac{a + 1}{b + 1} = \dfrac{a}{b} + \dfrac{1}{15}\)
- дробь \(\dfrac{a}{b}\)
Как и в предыдущей задаче, \(\dfrac{a - 1}{b - 1} - \dfrac{a}{b} = \dfrac{a - b}{b(b - 1)}\) и \(\dfrac{a + 1}{b + 1} - \dfrac{a}{b} = \dfrac{b - a}{b(b + 1)}\). Получаем:
\(\begin{cases} 10(b - a) = b(b - 1), \\ 15(b - a) = b(b + 1). \end{cases}\)
Приравняем выражения для \(b - a\) — \(\dfrac{b(b - 1)}{10} = \dfrac{b(b + 1)}{15}\), \(15(b - 1) = 10(b + 1)\), \(5b = 25\), \(b = 5\).
\(b - a = \dfrac{5 \cdot 4}{10} = 2\), \(a = 3\).
Проверка: \(\dfrac{3}{5} - \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{10}\); \(\dfrac{4}{6} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{20 - 18}{30} = \dfrac{1}{15}\).
Ответ
Изменение дроби выражаем через числитель и знаменатель и получаем систему уравнений второй степени.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».