Задача 1
Условие (кратко)
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, площадь — 180 см². Найдите катеты.
Решение
Дано
- \(c = 41\) см
- \(S = 180\) см²
Найти
- катеты \(a\) и \(b\)
По теореме Пифагора и формуле площади:
\(\begin{cases} a^2 + b^2 = 1681, \\ \dfrac{1}{2}ab = 180 \end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(ab = 360\).
\((a + b)^2 = 1681 + 720 = 2401\), \(a + b = 49\);
\((a - b)^2 = 1681 - 720 = 961\), \(a - b = 31\) (считаем \(a > b\)).
\(a = 40\), \(b = 9\).
Проверка: \(40^2 + 9^2 = 1600 + 81 = 1681 = 41^2\), \(\dfrac{40 \cdot 9}{2} = 180\).
Ответ
9 см и 40 см
Почему так
Квадраты суммы и разности катетов выражаются через квадрат гипотенузы и площадь.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».