Задача 1
Условие (кратко)
Площадь прямоугольного треугольника 44 см². Если один катет уменьшить на 1 см, а другой увеличить на 2 см, площадь станет 50 см². Найдите катеты.
Решение
Дано
- \(\dfrac{1}{2}ab = 44\)
- \(\dfrac{1}{2}(a - 1)(b + 2) = 50\)
Найти
- \(a\) и \(b\)
\(\begin{cases} ab = 88, \\ (a - 1)(b + 2) = 100. \end{cases}\)
Раскроем скобки во втором: \(ab + 2a - b - 2 = 100\), \(88 + 2a - b = 102\), \(b = 2a - 14\).
Подставим в первое: \(a(2a - 14) = 88\), \(a^2 - 7a - 44 = 0\), \(a = 11\) или \(a = -4\) (не подходит).
\(b = 22 - 14 = 8\).
Проверка: \(\dfrac{11 \cdot 8}{2} = 44\); \(\dfrac{10 \cdot 10}{2} = 50\).
Катеты 11 см (его уменьшали) и 8 см.
Ответ
11 см и 8 см
Почему так
Площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов; два условия дают систему.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».