Задача 1
Условие (кратко)
В арифметической прогрессии a₃ = 150, a₁₃ = 110. Сколько членов, начиная с первого, сложили, если сумма оказалась равной нулю?
Решение
\(a_{13} - a_3 = 10d = 110 - 150 = -40\), \(d = -4\); \(a_1 = a_3 - 2d = 150 + 8 = 158\).
\(S_n = \dfrac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n = \dfrac{316 - 4(n - 1)}{2} \cdot n = (160 - 2n) \cdot n\).
\(S_n = 0\) при \(n = 0\) (не подходит) или \(160 - 2n = 0\), то есть \(n = 80\).
Ответ
80
Почему так
Сумма равна нулю, когда \(2a_1 + d(n-1) = 0\) — первый и последний слагаемые противоположны.
Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».