Задача 1
В геометрической прогрессии (bₙ) знаменатель положителен, b₁·b₂ = 1/27, b₃·b₄ = 3. Найдите сумму первых четырёх членов.
Решение
\(b_1 b_2 = b_1^2 q = \dfrac{1}{27}\), \(b_3 b_4 = b_1^2 q^5 = 3\).
Разделим: \(q^4 = 3 \cdot 27 = 81\), \(q > 0\), значит, \(q = 3\).
\(b_1^2 \cdot 3 = \dfrac{1}{27}\), \(b_1^2 = \dfrac{1}{81}\), \(b_1 = \pm\dfrac{1}{9}\).
При \(b_1 = \dfrac{1}{9}\) получаем \(S_4 = \dfrac{1}{9}(1 + 3 + 9 + 27) = \dfrac{40}{9} = 4\dfrac{4}{9}\).
При \(b_1 = -\dfrac{1}{9}\) все члены меняют знак (произведения \(b_1 b_2\) и \(b_3 b_4\) при этом не меняются), и \(S_4 = -4\dfrac{4}{9}\).
В ответах учебника указано только \(4\dfrac{4}{9}\) — подразумеваются положительные члены; по условию, как оно напечатано, подходят оба значения.
Ответ
Условие даёт только \(b_1^2\), поэтому знак первого члена условием не определён.
Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».