Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 798

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите неравенство: 0,3(2m − 3) < 3(0,6m + 1,3).

Решение

Раскроем скобки: $$0{,}6m - 0{,}9 < 1{,}8m + 3{,}9$$ .

$$0{,}6m - 1{,}8m < 3{,}9 + 0{,}9$$ , $$-1{,}2m < 4{,}8$$ .

Делим на $$-1{,}2$$ и меняем знак: $$m > -4$$ .

Ответ

m > −4, т. е. (−4; +∞)

Почему так

При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите неравенство: 1,1(5x − 4) > 0,2(10x − 43).

Решение

$$5{,}5x - 4{,}4 > 2x - 8{,}6$$ .

$$3{,}5x > -4{,}2$$ , $$x > -1{,}2$$ .

Ответ

x > −1,2, т. е. (−1,2; +∞)

Почему так

Линейное неравенство сводят к виду $$kx > b$$ и делят на $$k$$ .

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решите неравенство: 10 − 5(0,3a − 0,2) ≥ 5 − 10(0,1a + 0,2).

Решение

$10 - 1{,}5a + 1 \ge 5 - a - 2$ , то есть $11 - 1{,}5a \ge 3 - a$ .

$-1{,}5a + a \ge 3 - 11$ , $-0{,}5a \ge -8$ .

Делим на $$-0{,}5$$ и меняем знак: $a \le 16$ .

Ответ

a ≤ 16, т. е. (−∞; 16]

Почему так

При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решите неравенство: 3,2(2b + 1) + 5,7 ≤ 7,3 − 1,6(3 − 5b).

Решение

$6{,}4b + 3{,}2 + 5{,}7 \le 7{,}3 - 4{,}8 + 8b$ , то есть $6{,}4b + 8{,}9 \le 8b + 2{,}5$ .

$6{,}4b - 8b \le 2{,}5 - 8{,}9$ , $-1{,}6b \le -6{,}4$ .

Делим на $$-1{,}6$$ и меняем знак: $b \ge 4$ .

Ответ

b ≥ 4, т. е. [4; +∞)

Почему так

При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решите неравенство: 4,3x − 1/2(2,8x − 0,6) > 1/3(3x + 0,6) + 2,9x.

Решение

$$4{,}3x - 1{,}4x + 0{,}3 > x + 0{,}2 + 2{,}9x$$ , то есть $$2{,}9x + 0{,}3 > 3{,}9x + 0{,}2$$ .

$$2{,}9x - 3{,}9x > 0{,}2 - 0{,}3$$ , $$-x > -0{,}1$$ , $$x < 0{,}1$$ .

Ответ

x < 0,1, т. е. (−∞; 0,1)

Почему так

При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решите неравенство: 2/5(5,5m − 2) − 0,8m < 4,6m − 3/4(3,6m − 1,6).

Решение

$\dfrac{2}{5}(5{,}5m - 2) = 2{,}2m - 0{,}8$ , $\dfrac{3}{4}(3{,}6m - 1{,}6) = 2{,}7m - 1{,}2$ .

$$2{,}2m - 0{,}8 - 0{,}8m < 4{,}6m - 2{,}7m + 1{,}2$$ , то есть $$1{,}4m - 0{,}8 < 1{,}9m + 1{,}2$$ .

$$-0{,}5m < 2$$ , $$m > -4$$ .

Ответ

m > −4, т. е. (−4; +∞)

Почему так

При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 7

Условие (кратко)

ж) Решите неравенство: (2,1y + 2)(0,2y − 3) − (0,7y − 1)(0,6y + 4) ≥ −83.

Решение

$(2{,}1y + 2)(0{,}2y - 3) = 0{,}42y^2 - 6{,}3y + 0{,}4y - 6 = 0{,}42y^2 - 5{,}9y - 6$ .

$(0{,}7y - 1)(0{,}6y + 4) = 0{,}42y^2 + 2{,}8y - 0{,}6y - 4 = 0{,}42y^2 + 2{,}2y - 4$ .

Разность: $$-8{,}1y - 2$$ (квадраты сократились). Неравенство: $-8{,}1y - 2 \ge -83$ , $-8{,}1y \ge -81$ , $y \le 10$ .

Ответ

y ≤ 10, т. е. (−∞; 10]

Почему так

После раскрытия скобок квадраты взаимно уничтожаются, и неравенство становится линейным.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 8

Условие (кратко)

з) Решите неравенство: (1 − 3,6a)(0,2a + 3) + (4 + 0,9a)(0,8a + 10) ≤ 42,2.

Решение

$(1 - 3{,}6a)(0{,}2a + 3) = 0{,}2a + 3 - 0{,}72a^2 - 10{,}8a = -0{,}72a^2 - 10{,}6a + 3$ .

$(4 + 0{,}9a)(0{,}8a + 10) = 3{,}2a + 40 + 0{,}72a^2 + 9a = 0{,}72a^2 + 12{,}2a + 40$ .

Сумма: $$1{,}6a + 43$$ . Неравенство: $1{,}6a + 43 \le 42{,}2$ , $1{,}6a \le -0{,}8$ , $a \le -0{,}5$ .

Ответ

a ≤ −0,5, т. е. (−∞; −0,5]

Почему так

После раскрытия скобок квадраты взаимно уничтожаются, и неравенство становится линейным.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-798/