Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 805

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите систему: 2x − 3(x + 1) < x + 8, 6x(x − 1) − (2x + 2)(3x − 3) > 0.

Решение

Первое: $$2x - 3x - 3 < x + 8$$ , $$-2x < 11$$ , $$x > -5{,}5$$ .

Второе: $$(2x + 2)(3x - 3) = 6x^2 - 6$$ , поэтому $$6x^2 - 6x - 6x^2 + 6 > 0$$ , $$-6x > -6$$ , $$x < 1$$ .

Общая часть: $$-5{,}5 < x < 1$$ .

Ответ

(−5,5; 1)

Почему так

Решение системы — общая часть решений всех неравенств; если её нет, система не имеет решений.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите систему: 10(x − 1) − 5(x + 1) > 4x − 11, x² − (x + 2)(x − 2) < 3x.

Решение

Первое: $$10x - 10 - 5x - 5 > 4x - 11$$ , $$5x - 15 > 4x - 11$$ , $$x > 4$$ .

Второе: $$x^2 - (x^2 - 4) < 3x$$ , $$4 < 3x$$ , $x > \dfrac{4}{3}$ .

Общая часть: $$x > 4$$ .

Ответ

(4; +∞)

Почему так

Решение системы — общая часть решений всех неравенств; если её нет, система не имеет решений.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решите систему: 7 − 3x − 4(3 − 1,5x) < 0, −6(1 + 2,5x) − 10x − 4 > 0.

Решение

Первое: $$7 - 3x - 12 + 6x < 0$$ , $$3x < 5$$ , $x < \dfrac{5}{3}$ .

Второе: $$-6 - 15x - 10x - 4 > 0$$ , $$-25x > 10$$ , $$x < -0{,}4$$ .

Общая часть: $$x < -0{,}4$$ .

Ответ

(−∞; −0,4)

Почему так

Решение системы — общая часть решений всех неравенств; если её нет, система не имеет решений.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решите систему: 2(1,5x − 1) − (x + 4)(x + 4) ≥ 0, −(2 − x) − 0,75x ≤ 0.

Решение

Первое: $3x - 2 - (x^2 + 8x + 16) \ge 0$ , $-x^2 - 5x - 18 \ge 0$ , то есть $x^2 + 5x + 18 \le 0$ .

$$D = 25 - 72 < 0$$ , ветви параболы вверх — трёхчлен всегда положителен, неравенство решений не имеет.

Значит, и система решений не имеет (второе неравенство, $0{,}25x \le 2$ , то есть $x \le 8$ , уже не важно).

Ответ

решений нет

Почему так

Если хотя бы одно неравенство системы не имеет решений, система тоже их не имеет.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решите систему: x − (4x − 1)/3 < 10, 4x − 1 − x/3 < 10.

Решение

Первое, умножим на 3: $$3x - 4x + 1 < 30$$ , $$-x < 29$$ , $$x > -29$$ .

Второе, умножим на 3: $$12x - 3 - x < 30$$ , $$11x < 33$$ , $$x < 3$$ .

Общая часть: $$-29 < x < 3$$ .

Ответ

(−29; 3)

Почему так

Решение системы — общая часть решений всех неравенств; если её нет, система не имеет решений.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решите систему: 3y − (2y + 1)/2 > 4 − (2 − y)/3 − y, (5y − 1)/3 − (y − 1) > 3y.

Решение

Первое, умножим на 6: $$18y - 3(2y + 1) > 24 - 2(2 - y) - 6y$$ , $$12y - 3 > 20 - 4y$$ , $$16y > 23$$ , $y > \dfrac{23}{16}$ .

Второе, умножим на 3: $$5y - 1 - 3y + 3 > 9y$$ , $$2y + 2 > 9y$$ , $$-7y > -2$$ , $y < \dfrac{2}{7}$ .

$\dfrac{2}{7} < \dfrac{23}{16}$ , общей части нет.

Ответ

решений нет

Почему так

Решение системы — общая часть решений всех неравенств; если её нет, система не имеет решений.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-805/