а) Решите неравенство: x² + 2x − 15 < 0.
Корни трёхчлена: \(x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)\), корни \(-5\) и \(3\).
Ветви параболы вверх, значения отрицательны между корнями: \(-5 < x < 3\).
Знак квадратного трёхчлена определяют по корням и направлению ветвей параболы.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
б) Решите неравенство: 5x² − 11x + 2 ≥ 0.
\(D = 121 - 40 = 81\), \(x = \dfrac{11 \pm 9}{10}\): корни \(0{,}2\) и \(2\).
Ветви вверх, трёхчлен неотрицателен вне промежутка между корнями (корни включаем): \(x \le 0{,}2\) или \(x \ge 2\).
Знак квадратного трёхчлена определяют по корням и направлению ветвей параболы.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
в) Решите неравенство: 10 − 3x² ≤ 5x − 2.
Перенесём всё вправо: \(0 \le 3x^2 + 5x - 12\), то есть \(3x^2 + 5x - 12 \ge 0\).
\(D = 25 + 144 = 169\), \(x = \dfrac{-5 \pm 13}{6}\): корни \(-3\) и \(\dfrac{4}{3}\).
Ветви вверх: \(x \le -3\) или \(x \ge 1\dfrac{1}{3}\).
Знак квадратного трёхчлена определяют по корням и направлению ветвей параболы.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
г) Решите неравенство: (2x + 3)(2 − x) > 3.
\((2x + 3)(2 - x) = 4x - 2x^2 + 6 - 3x = -2x^2 + x + 6\).
\(-2x^2 + x + 6 > 3\), \(-2x^2 + x + 3 > 0\); умножим на \(-1\) и получим \(2x^2 - x - 3 < 0\).
\(D = 1 + 24 = 25\), \(x = \dfrac{1 \pm 5}{4}\): корни \(-1\) и \(1{,}5\). Ветви вверх, отрицательные значения между корнями: \(-1 < x < 1{,}5\).
Знак квадратного трёхчлена определяют по корням и направлению ветвей параболы.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
д) Решите неравенство: 2x² − 0,5 ≤ 0.
\(2x^2 \le 0{,}5\), \(x^2 \le 0{,}25\), то есть \(-0{,}5 \le x \le 0{,}5\).
Неравенство \(x^2 \le c\) при \(c > 0\) равносильно \(-\sqrt{c} \le x \le \sqrt{c}\).
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
е) Решите неравенство: 3x² + 3,6x > 0.
\(3x(x + 1{,}2) > 0\), корни \(-1{,}2\) и \(0\).
Ветви вверх, положительные значения вне промежутка между корнями: \(x < -1{,}2\) или \(x > 0\).
Знак квадратного трёхчлена определяют по корням и направлению ветвей параболы.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
ж) Решите неравенство: (0,2 − x)(0,2 + x) < 0.
\((0{,}2 - x)(0{,}2 + x) = 0{,}04 - x^2\). Неравенство: \(0{,}04 - x^2 < 0\), \(x^2 > 0{,}04\).
Значит, \(x < -0{,}2\) или \(x > 0{,}2\).
Неравенство \(x^2 > c\) при \(c > 0\) равносильно \(x < -\sqrt{c}\) или \(x > \sqrt{c}\).
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
з) Решите неравенство: x(3x − 2,4) > 0.
Корни: \(x = 0\) и \(3x = 2{,}4\), \(x = 0{,}8\).
Трёхчлен \(3x^2 - 2{,}4x\) с ветвями вверх положителен вне промежутка между корнями: \(x < 0\) или \(x > 0{,}8\).
Знак квадратного трёхчлена определяют по корням и направлению ветвей параболы.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
и) Решите неравенство: x² − 0,5x − 5 < 0.
Умножим на 2: \(2x^2 - x - 10 < 0\). \(D = 1 + 80 = 81\), \(x = \dfrac{1 \pm 9}{4}\): корни \(-2\) и \(2{,}5\).
Ветви вверх, отрицательные значения между корнями: \(-2 < x < 2{,}5\).
Знак квадратного трёхчлена определяют по корням и направлению ветвей параболы.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
к) Решите неравенство: x² − 2x + 12,5 > 0.
\(D = 4 - 50 < 0\), корней нет; ветви вверх — трёхчлен положителен при всех \(x\).
Иначе: \(x^2 - 2x + 12{,}5 = (x - 1)^2 + 11{,}5 > 0\).
Трёхчлен с \(D < 0\) и \(a > 0\) положителен при всех \(x\).
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-809/