Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 810

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите неравенство: (2x + 1)(x + 4) − 3x(x + 2) < 0.

Решение

$$2x^2 + 9x + 4 - 3x^2 - 6x < 0$$ , $$-x^2 + 3x + 4 < 0$$ , то есть $$x^2 - 3x - 4 > 0$$ .

Корни $$-1$$ и $$4$$ , ветви вверх: $$x < -1$$ или $$x > 4$$ .

Ответ

(−∞; −1) ∪ (4; +∞)

Почему так

Знак квадратного трёхчлена определяют по корням и направлению ветвей параболы.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите неравенство: (3x − 2)² − 4x(2x − 3) > 0.

Решение

$$9x^2 - 12x + 4 - 8x^2 + 12x > 0$$ , то есть $$x^2 + 4 > 0$$ .

Это верно при любом $$x$$ .

Ответ

(−∞; +∞) — x любое

Почему так

После упрощения получается выражение, положительное при всех $$x$$ .

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решите неравенство: (1 − 6x)(1 + 6x) + 7x(5x − 2) > 14.

Решение

$$1 - 36x^2 + 35x^2 - 14x > 14$$ , $$-x^2 - 14x - 13 > 0$$ , то есть $$x^2 + 14x + 13 < 0$$ .

Корни $$-13$$ и $$-1$$ (по теореме Виета), ветви вверх: $$-13 < x < -1$$ .

Ответ

(−13; −1)

Почему так

Знак квадратного трёхчлена определяют по корням и направлению ветвей параболы.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решите неравенство: (5x + 2)(x − 1) − (2x + 1)(2x − 1) < 27.

Решение

$$5x^2 - 3x - 2 - (4x^2 - 1) < 27$$ , $$x^2 - 3x - 1 < 27$$ , $$x^2 - 3x - 28 < 0$$ .

Корни $$-4$$ и $$7$$ , ветви вверх: $$-4 < x < 7$$ .

Ответ

(−4; 7)

Почему так

Знак квадратного трёхчлена определяют по корням и направлению ветвей параболы.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решите неравенство: (2x − 1)(1 + 2x) − x(x + 4) < 6.

Решение

$$4x^2 - 1 - x^2 - 4x < 6$$ , $$3x^2 - 4x - 7 < 0$$ .

$$D = 16 + 84 = 100$$ , $x = \dfrac{4 \pm 10}{6}$ : корни $$-1$$ и $\dfrac{7}{3}$ . Ветви вверх: $-1 < x < 2\dfrac{1}{3}$ .

Ответ

(−1; 2 1/3)

Почему так

Знак квадратного трёхчлена определяют по корням и направлению ветвей параболы.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решите неравенство: (3x − 1)x − (6 − x)(x + 6) < 37.

Решение

$$(6 - x)(x + 6) = 36 - x^2$$ , поэтому $$3x^2 - x - 36 + x^2 < 37$$ , $$4x^2 - x - 73 < 0$$ .

$D = 1 + 4 \cdot 4 \cdot 73 = 1169$ , $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1169}}{8}$ , то есть примерно $$-4{,}15$$ и $$4{,}40$$ .

Ветви вверх, решение между корнями: $\dfrac{1 - \sqrt{1169}}{8} < x < \dfrac{1 + \sqrt{1169}}{8}$ .

Корни иррациональные — так получается при условии, как оно напечатано (к этому пункту в ответах учебника ответа нет).

Ответ

((1 − √1169)/8; (1 + √1169)/8)

Почему так

Знак квадратного трёхчлена определяют по корням и направлению ветвей параболы.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-810/