Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 811

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Докажите, что при любых x трёхчлен x² − 3x + 200 принимает положительные значения.

Решение

Выделим полный квадрат: $x^2 - 3x + 200 = (x - 1{,}5)^2 - 2{,}25 + 200 = (x - 1{,}5)^2 + 197{,}75$ .

$(x - 1{,}5)^2 \ge 0$ , значит, сумма не меньше $$197{,}75 > 0$$ при любом $$x$$ .

Другой способ: $$D = 9 - 800 < 0$$ и старший коэффициент положителен — парабола целиком выше оси $$Ox$$ .

Ответ

Доказано: x² − 3x + 200 = (x − 1,5)² + 197,75 > 0

Почему так

Выделение полного квадрата показывает наименьшее (или наибольшее) значение трёхчлена.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Докажите, что при любых x трёхчлен −x² + 22x − 125 принимает отрицательные значения.

Решение

$$-x^2 + 22x - 125 = -(x^2 - 22x + 121) - 4 = -(x - 11)^2 - 4$$ .

$-(x - 11)^2 \le 0$ , значит, всё выражение не больше $$-4 < 0$$ .

Ответ

Доказано: −x² + 22x − 125 = −(x − 11)² − 4 < 0

Почему так

Выделение полного квадрата показывает наименьшее (или наибольшее) значение трёхчлена.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Докажите, что при любых x трёхчлен x² − 16x + 64 принимает неотрицательные значения.

Решение

$x^2 - 16x + 64 = (x - 8)^2 \ge 0$ при любом $$x$$ (равен нулю при $$x = 8$$ ).

Ответ

Доказано: x² − 16x + 64 = (x − 8)² ≥ 0

Почему так

Квадрат любого числа неотрицателен.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Докажите, что при любых x трёхчлен 10x − x² − 25 принимает неположительные значения.

Решение

$10x - x^2 - 25 = -(x^2 - 10x + 25) = -(x - 5)^2 \le 0$ при любом $$x$$ (равен нулю при $$x = 5$$ ).

Ответ

Доказано: 10x − x² − 25 = −(x − 5)² ≤ 0

Почему так

Число, противоположное квадрату, неположительно.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-811/