а) При каких x имеет смысл выражение √(12x − 4)?
Нужно \(12x - 4 \ge 0\), \(x \ge \dfrac{1}{3}\).
Квадратный корень имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
б) При каких x имеет смысл выражение √(3 − 0,6x)?
Нужно \(3 - 0{,}6x \ge 0\), \(-0{,}6x \ge -3\), \(x \le 5\).
Квадратный корень имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
в) При каких x имеет смысл выражение √(15 + 2x − x²)?
Нужно \(15 + 2x - x^2 \ge 0\), то есть \(x^2 - 2x - 15 \le 0\).
Корни \(-3\) и \(5\), ветви вверх: \(-3 \le x \le 5\).
Квадратный корень имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
г) При каких x имеет смысл выражение √(2x² + x − 6)?
Нужно \(2x^2 + x - 6 \ge 0\). \(D = 1 + 48 = 49\), \(x = \dfrac{-1 \pm 7}{4}\): корни \(-2\) и \(1{,}5\).
Ветви вверх: \(x \le -2\) или \(x \ge 1{,}5\).
Квадратный корень имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
д) При каких x имеет смысл выражение √(12 − 5x) + √(2x − 1)?
Оба корня должны иметь смысл: \(\begin{cases} 12 - 5x \ge 0, \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}\), то есть \(x \le 2{,}4\) и \(x \ge 0{,}5\).
Ответ: \(0{,}5 \le x \le 2{,}4\).
Сумма корней имеет смысл, когда имеет смысл каждый корень, — получается система.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
е) При каких x имеет смысл выражение √(x² + 4) + √(3x − 17)?
\(x^2 + 4 > 0\) при любом \(x\). Второй корень: \(3x - 17 \ge 0\), \(x \ge \dfrac{17}{3} = 5\dfrac{2}{3}\).
Сумма корней имеет смысл, когда имеет смысл каждый корень, — получается система.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-814/