Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, Упражнения для повторения курса 7–9 классов, задание 817

Задача 1

Условие (кратко)

а) По графику функции y = f(x) (рис. 73) найдите значения аргумента, при которых f(x) = 0.

Решение

По рисунку 73 график идёт так: начинается в точке $(-4;\ -2)$ , поднимается через $(-3;\ -1{,}5)$ , $(-2;\ 0)$ , $(-1{,}5;\ 1{,}5)$ , $(-1;\ 2{,}5)$ до наивысшей точки $(0;\ 3)$ , затем опускается через $(1;\ 2{,}5)$ и $(2;\ 0)$ до наинизшей точки $(3;\ -1{,}5)$ и снова поднимается через $(3{,}5;\ -1)$ и $(4;\ 0)$ до конечной точки $(5;\ 2)$ .

$$f(x) = 0$$ там, где график пересекает ось $$x$$ : при $$x = -2$$ , $$x = 2$$ и $$x = 4$$ .

Ответ

x = −2, x = 2, x = 4 (по рисунку)

Почему так

Нули функции — абсциссы точек пересечения графика с осью x.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Задача 2

Условие (кратко)

б) По графику функции y = f(x) (рис. 73) найдите значения аргумента, при которых f(x) > 0.

Решение

По рисунку 73 график идёт так: начинается в точке $(-4;\ -2)$ , поднимается через $(-3;\ -1{,}5)$ , $(-2;\ 0)$ , $(-1{,}5;\ 1{,}5)$ , $(-1;\ 2{,}5)$ до наивысшей точки $(0;\ 3)$ , затем опускается через $(1;\ 2{,}5)$ и $(2;\ 0)$ до наинизшей точки $(3;\ -1{,}5)$ и снова поднимается через $(3{,}5;\ -1)$ и $(4;\ 0)$ до конечной точки $(5;\ 2)$ .

$$f(x) > 0$$ там, где график лежит выше оси $$x$$ . Нули $$-2$$ , $$2$$ , $$4$$ делят область $[-4;\ 5]$ на участки:

на $(-2;\ 2)$ график выше оси (горб с вершиной $(0;\ 3)$ );
на $(4;\ 5]$ график выше оси; точка $$x = 5$$ входит, так как $$f(5) = 2 > 0$$ .

Значит, $$f(x) > 0$$ при $x \in (-2;\ 2) \cup (4;\ 5]$ .

Ответ

(−2; 2) ∪ (4; 5] (по рисунку)

Почему так

Функция положительна там, где её график лежит выше оси x.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Задача 3

Условие (кратко)

в) По графику функции y = f(x) (рис. 73) найдите значения аргумента, при которых f(x) < 0.

Решение

По рисунку 73 график идёт так: начинается в точке $(-4;\ -2)$ , поднимается через $(-3;\ -1{,}5)$ , $(-2;\ 0)$ , $(-1{,}5;\ 1{,}5)$ , $(-1;\ 2{,}5)$ до наивысшей точки $(0;\ 3)$ , затем опускается через $(1;\ 2{,}5)$ и $(2;\ 0)$ до наинизшей точки $(3;\ -1{,}5)$ и снова поднимается через $(3{,}5;\ -1)$ и $(4;\ 0)$ до конечной точки $(5;\ 2)$ .

$$f(x) < 0$$ там, где график ниже оси $$x$$ :

на $[-4;\ -2)$ — левый край $$x = -4$$ входит, так как $$f(-4) = -2 < 0$$ ;
на $(2;\ 4)$ — впадина с нижней точкой $(3;\ -1{,}5)$ .

Значит, $$f(x) < 0$$ при $x \in [-4;\ -2) \cup (2;\ 4)$ .

Ответ

[−4; −2) ∪ (2; 4) (по рисунку)

Почему так

Функция отрицательна там, где её график лежит ниже оси x.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».