Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, Упражнения для повторения курса 7–9 классов, задание 818

Условие (кратко)

Ломаная ABCDE — график функции y = f(x) (рис. 74). На каких промежутках функция принимает положительные значения, а на каких — отрицательные?

Решение

По рисунку 74 вершины ломаной: $A(-3{,}5;\ 2)$ , $B(-1;\ -3)$ , $C(1;\ 1)$ , $D(2{,}5;\ -2)$ , $E(5;\ 3)$ . Область определения — $[-3{,}5;\ 5]$ .

Найдём, где каждое звено пересекает ось $$x$$ . На каждом звене $$y$$ меняется равномерно:

$$AB$$ : от $$y = 2$$ до $$y = -3$$ при сдвиге на $$2{,}5$$ по $$x$$ , то есть $$y$$ уменьшается на $$2$$ на каждую единицу $$x$$ . До нуля от $$A$$ нужно спуститься на $$2$$ — это сдвиг на $$1$$ , откуда $$x = -3{,}5 + 1 = -2{,}5$$ .
$$BC$$ — $$y$$ растёт на $$2$$ на единицу $$x$$ ; от $$B$$ до нуля подъём на $$3$$ — сдвиг $$1{,}5$$ , откуда $$x = -1 + 1{,}5 = 0{,}5$$ .
$$CD$$ — $$y$$ убывает на $$2$$ на единицу $$x$$ ; от $$C$$ спуск на $$1$$ — сдвиг $$0{,}5$$ , откуда $$x = 1{,}5$$ .
$$DE$$ — $$y$$ растёт на $$2$$ на единицу $$x$$ ; от $$D$$ подъём на $$2$$ — сдвиг $$1$$ , откуда $$x = 3{,}5$$ .

Нули: $$-2{,}5$$ ; $$0{,}5$$ ; $$1{,}5$$ ; $$3{,}5$$ . Над осью лежат куски у вершин $$A$$ , $$C$$ , $$E$$ , под осью — у вершин $$B$$ , $$D$$ :

$$f(x) > 0$$ при $x \in [-3{,}5;\ -2{,}5) \cup (0{,}5;\ 1{,}5) \cup (3{,}5;\ 5]$ ;

$$f(x) < 0$$ при $x \in (-2{,}5;\ 0{,}5) \cup (1{,}5;\ 3{,}5)$ .

Ответ

f(x) > 0 на [−3,5; −2,5), (0,5; 1,5), (3,5; 5]; f(x) < 0 на (−2,5; 0,5), (1,5; 3,5) (по рисунку)

Почему так

Знак функции определяется тем, выше или ниже оси x лежит график; границы промежутков — нули функции.

Задание 818