Задача 1
Условие (кратко)
Постройте график y = −0,5x² + x + 1,5. При каких x y = 0; y > 0; y < 0? Где функция возрастает и где убывает? Каково её наибольшее значение?
Решение
\(a = -0{,}5 < 0\) — ветви параболы вниз.
Вершина: \(x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{1}{2 \cdot (-0{,}5)} = 1\), \(y_0 = -0{,}5 + 1 + 1{,}5 = 2\). Вершина \((1;\ 2)\).
Нули: \(-0{,}5x^2 + x + 1{,}5 = 0\), умножим на \(-2\) — \(x^2 - 2x - 3 = 0\), \(x_1 = -1\), \(x_2 = 3\).
Пересечение с осью y: \((0;\ 1{,}5)\).
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-2{,}5\) | \(0\) | \(1{,}5\) | \(2\) | \(1{,}5\) | \(0\) | \(-2{,}5\) |
По графику (ветви вниз, нули \(-1\) и \(3\)):
- \(y = 0\) при \(x = -1\) и \(x = 3\);
- \(y > 0\) при \(x \in (-1;\ 3)\) — между нулями парабола выше оси;
- \(y < 0\) при \(x \in (-\infty;\ -1) \cup (3;\ +\infty)\);
- возрастает на \((-\infty;\ 1]\), убывает на \([1;\ +\infty)\);
- наибольшее значение \(2\) (при \(x = 1\)).
Ответ
y = 0 при x = −1 и x = 3; y > 0 на (−1; 3); y < 0 на (−∞; −1) ∪ (3; +∞); возрастает на (−∞; 1], убывает на [1; +∞); наибольшее значение 2
Почему так
У параболы с ветвями вниз наибольшее значение — в вершине, а положительна она между нулями.
Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».