Задача 1
Постройте график y = x² − 4x − 5. При каких x функция принимает отрицательные значения? Какие значения она принимает при 0 ≤ x ≤ 4?
Решение
\(a = 1 > 0\) — ветви вверх.
Вершина: \(x_0 = -\dfrac{-4}{2} = 2\), \(y_0 = 4 - 8 - 5 = -9\). Вершина \((2;\ -9)\).
Нули: \(x^2 - 4x - 5 = 0\), \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\). Ось y: \((0;\ -5)\).
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(0\) | \(-5\) | \(-8\) | \(-9\) | \(-8\) | \(-5\) | \(0\) |
Отрицательные значения — между нулями, где парабола ниже оси: \(x \in (-1;\ 5)\).
При \(0 \le x \le 4\). Этот отрезок симметричен относительно \(x = 2\) и содержит вершину. Наименьшее значение \(-9\) (в вершине), на концах \(y(0) = y(4) = -5\) — это наибольшее значение на отрезке. Функция непрерывна, поэтому принимает все значения от \(-9\) до \(-5\).
Ответ
На отрезке, содержащем вершину, наименьшее значение параболы с ветвями вверх — в вершине, наибольшее — на концах.
Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».