а) Постройте график функции y = 0,5x при x ≥ 0 и y = −x при x < 0.
Решение
График состоит из двух лучей с общим началом \((0;\ 0)\):
при \(x \ge 0\) — луч прямой \(y = 0{,}5x\): точки \((0;\ 0)\), \((2;\ 1)\), \((4;\ 2)\);
при \(x < 0\) — луч прямой \(y = -x\): точки \((-1;\ 1)\), \((-2;\ 2)\), \((-3;\ 3)\).
Получается «галочка» с вершиной в начале координат: левая сторона круче правой. Функция убывает на \((-\infty;\ 0]\), возрастает на \([0;\ +\infty)\), наименьшее значение \(0\).
Ответ
два луча из (0; 0): y = −x влево и y = 0,5x вправо
Почему так
Кусочную функцию строят по частям, каждую — на своём промежутке.
б) Постройте график функции y = 2 + x при x ≤ −1; y = 1 при −1 < x ≤ 1; y = 2 − x при x > 1.
Решение
Строим три куска:
при \(x \le -1\) — луч прямой \(y = 2 + x\): точки \((-1;\ 1)\), \((-2;\ 0)\), \((-3;\ -1)\);
при \(-1 < x \le 1\) — отрезок горизонтальной прямой \(y = 1\) от \((-1;\ 1)\) до \((1;\ 1)\);
при \(x > 1\) — луч прямой \(y = 2 - x\): точки \((2;\ 0)\), \((3;\ -1)\); он начинается от \((1;\ 1)\).
На стыках значения совпадают (\(2 + (-1) = 1\) и \(2 - 1 = 1\)), поэтому график сплошной, без разрывов: подъём, ровная «площадка» на высоте \(1\) и спуск — похоже на крышу с плоским верхом. Нули: \(x = -2\) и \(x = 2\); наибольшее значение \(1\).
Ответ
ломаная: луч y = 2 + x до (−1; 1), отрезок y = 1 до (1; 1), луч y = 2 − x
Почему так
Кусочную функцию строят по частям; на стыках проверяют, совпадают ли значения.
в) Постройте график функции y = 2x² при x ≥ 0 и y = −x² + 1 при x < 0.
Решение
При \(x \ge 0\) — правая половина параболы \(y = 2x^2\) через точки \((0;\ 0)\), \((0{,}5;\ 0{,}5)\), \((1;\ 2)\), \((1{,}5;\ 4{,}5)\). Точка \((0;\ 0)\) входит — закрашенный кружок.
При \(x < 0\) — левая половина параболы \(y = -x^2 + 1\) (ветви вниз, вершина \((0;\ 1)\)): \((-0{,}5;\ 0{,}75)\), \((-1;\ 0)\), \((-2;\ -3)\). Точка \((0;\ 1)\) не входит — пустой кружок.
При \(x = 0\) график «прыгает»: слева подходит к \((0;\ 1)\), справа начинается с \((0;\ 0)\). Функция возрастает на \((-\infty;\ 0)\) и на \([0;\ +\infty)\), но в точке \(0\) разрыв.
Ответ
левая ветвь y = −x² + 1 до выколотой (0; 1), правая ветвь y = 2x² от (0; 0)
Почему так
Кусочную функцию строят по частям; если на стыке значения разные, график имеет разрыв.
г) Постройте график функции y = x² при x < 1 и y = −x² + 2x + 1 при x ≥ 1.
Решение
При \(x < 1\) — часть параболы \(y = x^2\) через точки \((-2;\ 4)\), \((-1;\ 1)\), \((0;\ 0)\), \((0{,}5;\ 0{,}25)\); точка \((1;\ 1)\) не входит — пустой кружок.
При \(x \ge 1\) имеем \(-x^2 + 2x + 1 = -(x - 1)^2 + 2\), это парабола ветвями вниз с вершиной \((1;\ 2)\). Берём правую половину от вершины: \((1;\ 2)\) — закрашенный кружок, \((2;\ 1)\), \((3;\ -2)\).
В точке \(x = 1\) разрыв: слева график подходит к \((1;\ 1)\), справа начинается с \((1;\ 2)\). Функция убывает на \((-\infty;\ 0]\), возрастает на \([0;\ 1)\) и снова убывает на \([1;\ +\infty)\).
Ответ
часть параболы y = x² до выколотой (1; 1), затем ветвь y = −(x − 1)² + 2 от вершины (1; 2) вниз
Почему так
Кусочную функцию строят по частям; если на стыке значения разные, график имеет разрыв.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).