Задача 1
Пересекаются ли парабола y = x² − 6x и прямая y − 8x = 0? Если да, укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте схематическим рисунком.
Решение
Прямая: \(y = 8x\). Приравниваем: \(x^2 - 6x = 8x\), \(x^2 - 14x = 0\), \(x(x - 14) = 0\), \(x = 0\) или \(x = 14\).
При \(x = 0\) получаем \(y = 0\). При \(x = 14\) получаем \(y = 8 \cdot 14 = 112\). Проверка по параболе: \(14^2 - 6 \cdot 14 = 196 - 84 = 112\).
Да, пересекаются в двух точках: \((0;\ 0)\) и \((14;\ 112)\).
Схема: парабола \(y = x^2 - 6x\) ветвями вверх, вершина \((3;\ -9)\), нули \(0\) и \(6\); прямая \(y = 8x\) круто возрастает через начало координат. Прямая пересекает параболу в начале координат, идёт выше неё и снова встречает правую ветвь в точке \((14;\ 112)\).
Ответ
Общие точки графиков — решения системы из их уравнений.
Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».