\((x - 5)^2 \ge 0\) и принимает любые неотрицательные значения, поэтому \(f(x) \ge -42\), а наименьшее значение \(-42\) достигается при \(x = 5\). Ветви вверх уходят неограниченно: \(E(f) = [-42;\ +\infty)\).
Ответ
D(f) — все числа; E(f) = [−42; +∞)
Почему так
Множество значений квадратичной функции с ветвями вверх — от ординаты вершины до +∞.
б) Найдите область определения и множество значений функции g(x) = 1/(|x| − x).
Решение
Знаменатель не должен быть равен нулю.
При \(x \ge 0\) имеем \(|x| = x\), знаменатель \(x - x = 0\) — функция не определена.
При \(x < 0\) имеем \(|x| = -x\), знаменатель \(-x - x = -2x > 0\).
Значит, \(D(g) = (-\infty;\ 0)\), и там \(g(x) = \dfrac{1}{-2x}\).
При \(x < 0\) число \(-2x\) пробегает все положительные числа, поэтому \(\dfrac{1}{-2x}\) тоже принимает любое положительное значение: для \(c > 0\) подходит \(x = -\dfrac{1}{2c}\). Нуля и отрицательных значений нет.
\(E(g) = (0;\ +\infty)\).
Ответ
D(g) = (−∞; 0); E(g) = (0; +∞)
Почему так
Модуль раскрывают по знаку x; при x ≥ 0 знаменатель обращается в нуль.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).