Задача 1
Условие (кратко)
Найдите корни многочлена 2x⁵ + x⁴ − 10x³ − 5x² + 8x + 4. (повышенной трудности)
Решение
Идея: сгруппировать члены парами — в каждой паре вынесется общий множитель \(2x + 1\).
\[2x^5 + x^4 - 10x^3 - 5x^2 + 8x + 4 = x^4(2x + 1) - 5x^2(2x + 1) + 4(2x + 1) = (2x + 1)(x^4 - 5x^2 + 4).\]
Второй множитель — биквадратный трёхчлен. Положим \(t = x^2\): \(t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4)\). Значит,
\[x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2).\]
Итак, многочлен равен \((2x + 1)(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)\) и обращается в нуль, когда один из множителей равен нулю:
\[x = -\tfrac{1}{2},\quad x = \pm 1,\quad x = \pm 2.\]
Корней пять — больше у многочлена пятой степени и быть не может.
Ответ
−2; −1; −0,5; 1; 2
Почему так
Группировка выделяет общий множитель 2x + 1, остаток — биквадратный трёхчлен.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».