Задача 1
Условие (кратко)
В многочлен ax³ + bx² + cx + d вместо a, b, c, d подставляют числа −7, 4, −3, 6 в любом порядке. Докажите, что все такие многочлены имеют общий корень. (повышенной трудности)
Решение
Идея: подставить \(x = 1\) — тогда значение многочлена равно сумме коэффициентов, а она не зависит от их порядка.
При \(x = 1\) получаем
\[a \cdot 1^3 + b \cdot 1^2 + c \cdot 1 + d = a + b + c + d.\]
Какие бы места ни занимали числа \(-7\), \(4\), \(-3\), \(6\), их сумма одна и та же:
\[-7 + 4 - 3 + 6 = 0.\]
Значит, каждый такой многочлен при \(x = 1\) равен нулю, то есть \(x = 1\) — общий корень всех этих многочленов. Например, \(-7 + 4 - 3 + 6 = 0\) для \(-7x^3 + 4x^2 - 3x + 6\) и \(4 - 7 + 6 - 3 = 0\) для \(4x^3 - 7x^2 + 6x - 3\).
Ответ
Общий корень x = 1: сумма коэффициентов −7 + 4 − 3 + 6 = 0 при любом их порядке.
Почему так
Значение многочлена при x = 1 равно сумме его коэффициентов.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».