Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что многочлен x⁴ − 4x³ − 6x² − 3x + 9 не имеет отрицательных корней. (повышенной трудности)
Решение
Идея: собрать из \(x^4\), \(-6x^2\) и \(9\) полный квадрат, а оставшиеся члены рассмотреть при \(x < 0\).
\[x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 3x + 9 = (x^4 - 6x^2 + 9) - 4x^3 - 3x = (x^2 - 3)^2 - x(4x^2 + 3).\]
Пусть \(x < 0\). Тогда:
- \((x^2 - 3)^2 \ge 0\) — квадрат;
- \(4x^2 + 3 > 0\), а \(-x > 0\), поэтому \(-x(4x^2 + 3) > 0\).
Сумма неотрицательного и положительного чисел положительна, значит, при любом \(x < 0\) многочлен больше нуля и в нуль не обращается. Отрицательных корней нет.
Ответ
Доказано: при x < 0 многочлен равен (x² − 3)² − x(4x² + 3) > 0.
Почему так
Выделение полного квадрата: сумма квадрата и положительного числа не может быть нулём.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».