Задача 1
Условие (кратко)
При каком значении a сумма квадратов корней квадратного трёхчлена x² − (a − 2)x − a − 1 принимает наименьшее значение? (повышенной трудности)
Решение
Идея: выразить сумму квадратов корней через \(a\) по теореме Виета и найти минимум получившейся квадратичной функции.
Сначала убедимся, что корни есть при любом \(a\):
\[D = (a - 2)^2 + 4(a + 1) = a^2 + 8 > 0.\]
По теореме Виета \(x_1 + x_2 = a - 2\), \(x_1 x_2 = -a - 1\). Тогда
\[x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (a - 2)^2 + 2(a + 1) = a^2 - 2a + 6 = (a - 1)^2 + 5.\]
Выражение \((a - 1)^2 + 5\) наименьшее, когда \((a - 1)^2 = 0\), то есть при \(a = 1\) (сумма квадратов корней тогда равна 5).
Ответ
При a = 1
Почему так
По теореме Виета x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ — квадратичная функция от a.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».