Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что при любых a, b и c график функции y = (x − a)(x − b) − c² имеет хотя бы одну общую точку с осью x. (повышенной трудности)
Решение
Идея: у параболы есть общая точка с осью \(x\), если уравнение \(y = 0\) имеет корень, то есть дискриминант неотрицателен.
Раскроем скобки:
\[y = x^2 - (a + b)x + ab - c^2.\]
Дискриминант:
\[D = (a + b)^2 - 4(ab - c^2) = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab + 4c^2 = (a - b)^2 + 4c^2.\]
Сумма квадратов неотрицательна: \(D \ge 0\) при любых \(a\), \(b\), \(c\). Значит, уравнение \((x - a)(x - b) - c^2 = 0\) всегда имеет хотя бы один корень, и в этой точке график пересекает ось \(x\) (или касается её — при \(a = b\), \(c = 0\)).
Ответ
Доказано: D = (a − b)² + 4c² ≥ 0 при любых a, b, c.
Почему так
Парабола пересекает ось x, когда дискриминант неотрицателен.
Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».