Нуль при \(x \ge 0\): \(x = 2\) (корень \(-\tfrac12\) отбрасываем — он не из этой области).
Точка на оси \(y\): \((0; -2)\).
\(x\)
0
0,75
1
2
3
\(y\)
−2
−3,125
−3
0
7
Строим эту часть параболы при \(x \ge 0\) и отражаем её относительно оси \(y\). Получаем «W»: минимумы в точках \((\pm 0{,}75; -3{,}125)\), излом в \((0; -2)\), нули \(x = \pm 2\).
Правую половину строим как параболу y = 2x² − 3x − 2, левую получаем симметрией.
Ответ
График — две симметричные части парабол: минимумы (±0,75; −3,125), излом (0; −2), нули ±2.
Почему так
Функция с |x| чётная: строим часть при x ≥ 0 и отражаем относительно оси y.
б) Постройте график функции y = |x²/2 − x| − 4. (повышенной трудности)
Решение
Идея: строим параболу \(y = \tfrac12 x^2 - x\), часть под осью \(x\) отражаем вверх (это модуль), затем весь график сдвигаем на 4 вниз.
\(y = \tfrac12 x^2 - x = \tfrac12 x(x - 2)\) — парабола, ветви вверх, нули \(0\) и \(2\), вершина \((1; -0{,}5)\).
На отрезке \([0; 2]\) парабола ниже оси \(x\) — отражаем этот кусок вверх: получается «горбик» с вершиной \((1; 0{,}5)\).
Сдвигаем всё на 4 вниз: изломы в точках \((0; -4)\) и \((2; -4)\), вершина горбика \((1; -3{,}5)\).
Нули: \(\left|\tfrac12 x^2 - x\right| = 4\). Так как вне \([0;2]\) выражение под модулем положительно, решаем \(\tfrac12 x^2 - x = 4\), то есть \(x^2 - 2x - 8 = 0\): \(x = -2\) или \(x = 4\).
\(x\)
−2
−1
0
1
2
3
4
\(y\)
0
−2,5
−4
−3,5
−4
−2,5
0
Часть параболы под осью x отражаем вверх, затем весь график опускаем на 4.
Ответ
Парабола y = x²/2 − x, отражённая на [0; 2] вверх и сдвинутая на 4 вниз: изломы (0; −4), (2; −4), горбик (1; −3,5), нули −2 и 4.
Почему так
График y = |f(x)| получают отражением частей графика f ниже оси x, затем сдвигают вдоль оси y.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).
