Задача 1
Условие (кратко)
Найдите координаты общих точек оси x и графика функции y = x² − 4x + |2x − 8|. (повышенной трудности)
Решение
Идея: раскрыть модуль на двух промежутках: \(2x - 8 \ge 0\) при \(x \ge 4\).
Ищем нули функции: \(x^2 - 4x + |2x - 8| = 0\).
1) \(x \ge 4\): \(|2x - 8| = 2x - 8\),
\[x^2 - 2x - 8 = 0,\quad (x - 4)(x + 2) = 0.\]
Подходит \(x = 4\); \(x = -2\) не удовлетворяет условию \(x \ge 4\).
2) \(x < 4\): \(|2x - 8| = 8 - 2x\),
\[x^2 - 6x + 8 = 0,\quad (x - 2)(x - 4) = 0.\]
Подходит \(x = 2\); \(x = 4\) не удовлетворяет условию \(x < 4\) (но он уже найден в п. 1).
Общие точки с осью \(x\): \((2; 0)\) и \((4; 0)\).
Ответ
(2; 0), (4; 0)
Почему так
Модуль раскрываем на промежутках, где выражение под ним сохраняет знак, и проверяем корни на принадлежность промежутку.
Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».