Задача 1
Условие (кратко)
При каком значении a графики функций y = x² − 7x + a и y = −3x² + 5x − 6 имеют единственную общую точку? Найдите её координаты. (повышенной трудности)
Решение
Идея: общие точки графиков — решения уравнения \(x^2 - 7x + a = -3x^2 + 5x - 6\); точка единственная, когда у этого квадратного уравнения дискриминант равен нулю.
\[4x^2 - 12x + a + 6 = 0.\]
\[\frac{D}{4} = 36 - 4(a + 6) = 12 - 4a = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 3.\]
При \(a = 3\) уравнение принимает вид \(4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2 = 0\), откуда \(x = 1{,}5\).
\(y = -3 \cdot 1{,}5^2 + 5 \cdot 1{,}5 - 6 = -6{,}75 + 7{,}5 - 6 = -5{,}25\).
Проверка по первой функции: \(1{,}5^2 - 7 \cdot 1{,}5 + 3 = 2{,}25 - 10{,}5 + 3 = -5{,}25\) — совпадает.
Ответ
При a = 3; общая точка (1,5; −5,25)
Почему так
Графики имеют одну общую точку, когда уравнение f(x) = g(x) имеет ровно один корень (D = 0).
Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».