Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что многочлен x⁸ + x⁶ − 4x⁴ + x² + 1 не принимает отрицательных значений. (повышенной трудности)
Решение
Идея: разбить \(-4x^4\) на \(-2x^4 - 2x^4\) и собрать два полных квадрата.
\[x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1 = (x^8 - 2x^4 + 1) + (x^6 - 2x^4 + x^2).\]
Первая скобка: \(x^8 - 2x^4 + 1 = (x^4 - 1)^2\).
Вторая скобка: \(x^6 - 2x^4 + x^2 = x^2(x^4 - 2x^2 + 1) = x^2(x^2 - 1)^2 = \big(x(x^2 - 1)\big)^2\).
Итак,
\[x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1 = (x^4 - 1)^2 + \big(x(x^2 - 1)\big)^2 \ge 0\]
как сумма двух квадратов. Значение \(0\) достигается при \(x = \pm 1\), отрицательных значений нет.
Ответ
Доказано: многочлен равен (x⁴ − 1)² + x²(x² − 1)² ≥ 0.
Почему так
Многочлен представлен суммой квадратов, а сумма квадратов неотрицательна.
Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».