Задача 1
Условие (кратко)
При каких значениях m квадратный трёхчлен mx² + (m − 1)x + m − 1 принимает только отрицательные значения? (повышенной трудности)
Решение
Идея: квадратный трёхчлен отрицателен при всех \(x\), если ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось \(x\): \(m < 0\) и \(D < 0\).
(При \(m = 0\) трёхчлен не квадратный: \(-x - 1\) принимает и положительные значения, например при \(x = -2\).)
\[D = (m - 1)^2 - 4m(m - 1) = (m - 1)(m - 1 - 4m) = -(m - 1)(3m + 1).\]
\(D < 0 \iff (m - 1)(3m + 1) > 0 \iff m < -\tfrac13\) или \(m > 1\).
Вместе с условием \(m < 0\) остаётся \(m < -\tfrac13\).
Ответ
При m < −1/3
Почему так
Трёхчлен ax² + bx + c отрицателен при всех x тогда и только тогда, когда a < 0 и D < 0.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».