Задача 1
Условие (кратко)
Найдите множество значений функции y = x/(x² + 1). (повышенной трудности)
Решение
Идея: число \(y_0\) — значение функции, если уравнение \(\dfrac{x}{x^2 + 1} = y_0\) имеет решение. Найдём, при каких \(y_0\) это так.
Знаменатель \(x^2 + 1 > 0\), поэтому уравнение равносильно
\[y_0 x^2 - x + y_0 = 0.\]
- При \(y_0 = 0\): \(x = 0\) — решение есть.
- При \(y_0 \ne 0\) это квадратное уравнение; оно имеет корни, если
\[D = 1 - 4y_0^2 \ge 0 \iff y_0^2 \le \tfrac14 \iff -\tfrac12 \le y_0 \le \tfrac12.\]
Крайние значения достигаются: \(y(1) = \tfrac12\), \(y(-1) = -\tfrac12\).
Множество значений: \(\left[-\tfrac12;\ \tfrac12\right]\).
Ответ
[−1/2; 1/2]
Почему так
Множество значений — те y₀, при которых уравнение f(x) = y₀ имеет решение.
Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».