Задача 1
Условие (кратко)
Сумма квадратов корней x₁ и x₂ уравнения x² − 3ax + a² = 0 равна 1,75. Найдите x₁ и x₂. (повышенной трудности)
Решение
Идея: по теореме Виета выразить \(x_1^2 + x_2^2\) через \(a\), найти \(a\), затем решить уравнение.
\(x_1 + x_2 = 3a\), \(x_1 x_2 = a^2\), поэтому
\[x_1^2 + x_2^2 = (3a)^2 - 2a^2 = 7a^2 = 1{,}75 \quad\Rightarrow\quad a^2 = 0{,}25,\ a = \pm 0{,}5.\]
Корни существуют: \(D = 9a^2 - 4a^2 = 5a^2 > 0\).
\(a = 0{,}5\): \(x^2 - 1{,}5x + 0{,}25 = 0\), или \(4x^2 - 6x + 1 = 0\):
\[x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{4}.\]
\(a = -0{,}5\): \(4x^2 + 6x + 1 = 0\):
\[x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{4}.\]
Проверка для первой пары: \(\left(\tfrac{3+\sqrt5}{4}\right)^2 + \left(\tfrac{3-\sqrt5}{4}\right)^2 = \tfrac{2(9 + 5)}{16} = 1{,}75\).
Ответ
x₁ = (3 − √5)/4, x₂ = (3 + √5)/4 или x₁ = (−3 − √5)/4, x₂ = (−3 + √5)/4
Почему так
Сумма квадратов корней выражается через коэффициенты по теореме Виета: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».