Задача 1
Условие (кратко)
Найдите все значения a, при которых один из корней уравнения x² − 3,75x + a³ = 0 является квадратом другого. (повышенной трудности)
Решение
Идея: обозначить корни \(t\) и \(t^2\) и воспользоваться теоремой Виета: сумма даёт уравнение на \(t\), произведение — на \(a\).
Пусть корни \(t\) и \(t^2\). Тогда
\[t + t^2 = 3{,}75,\qquad t \cdot t^2 = t^3 = a^3.\]
Из первого: \(t^2 + t - 3{,}75 = 0\), или \(4t^2 + 4t - 15 = 0\):
\[t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 240}}{8} = \frac{-4 \pm 16}{8},\quad t = 1{,}5 \ \text{или}\ t = -2{,}5.\]
Из второго \(a^3 = t^3\), то есть \(a = t\).
- \(a = 1{,}5\): уравнение \(x^2 - 3{,}75x + 3{,}375 = 0\) имеет корни \(1{,}5\) и \(2{,}25 = 1{,}5^2\).
- \(a = -2{,}5\): уравнение \(x^2 - 3{,}75x - 15{,}625 = 0\) имеет корни \(-2{,}5\) и \(6{,}25 = (-2{,}5)^2\).
Ответ
a = 1,5 или a = −2,5
Почему так
Корни t и t² связаны с коэффициентами теоремой Виета: t + t² = 3,75, t³ = a³.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».