Задача 1
Условие (кратко)
При каком значении m корни уравнения x² − 2mx + m² − 1 = 0 принадлежат интервалу (−2; 4)? (повышенной трудности)
Решение
Идея: левая часть — почти полный квадрат, корни находятся явно.
\[x^2 - 2mx + m^2 - 1 = (x - m)^2 - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = m - 1,\ x_2 = m + 1.\]
Оба корня лежат в \((-2; 4)\), если меньший больше \(-2\), а больший меньше \(4\):
\[\begin{cases} m - 1 > -2, \\ m + 1 < 4 \end{cases} \iff \begin{cases} m > -1, \\ m < 3. \end{cases}\]
Ответ: \(-1 < m < 3\).
Ответ
При m ∈ (−1; 3)
Почему так
Выделив полный квадрат, получаем корни m ± 1 и требуем, чтобы оба лежали в интервале.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».