Задача 1
Условие (кратко)
При каких значениях a биквадратное уравнение x⁴ + ax² + a − 1 = 0 имеет только два различных корня? (повышенной трудности)
Решение
Идея: после замены \(t = x^2\) квадратное уравнение раскладывается на множители; каждому положительному \(t\) соответствуют два корня \(x = \pm\sqrt t\), \(t = 0\) — один корень, отрицательному \(t\) — ни одного.
\[t^2 + at + a - 1 = 0.\]
При \(t = -1\) левая часть равна \(1 - a + a - 1 = 0\), значит, \(t = -1\) — корень, и
\[t^2 + at + a - 1 = (t + 1)(t + a - 1).\]
Корни: \(t = -1\) (не даёт \(x\), так как \(x^2 \ne -1\)) и \(t = 1 - a\).
- \(1 - a > 0\), то есть \(a < 1\): \(x = \pm\sqrt{1 - a}\) — ровно два различных корня.
- \(a = 1\): \(t = 0\), один корень \(x = 0\).
- \(a > 1\): корней нет.
Ответ: \(a < 1\).
Ответ
При a < 1
Почему так
Замена t = x² сводит биквадратное уравнение к квадратному; два корня x даёт один положительный корень t.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».