Задача 1
Условие (кратко)
Решите систему (x + y)(8 − x) = 10, (x + y)(y + 5) = 20. (повышенной трудности)
Решение
Идея: разделить второе уравнение на первое — общий множитель \(x + y\) сократится.
\(x + y \ne 0\) (иначе первое уравнение дало бы \(0 = 10\)). Делим второе на первое:
\[\frac{y + 5}{8 - x} = 2 \quad\Rightarrow\quad y + 5 = 16 - 2x \quad\Rightarrow\quad y = 11 - 2x.\]
Тогда \(x + y = 11 - x\), и первое уравнение даёт
\[(11 - x)(8 - x) = 10,\quad x^2 - 19x + 78 = 0,\quad x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 312}}{2} = \frac{19 \pm 7}{2}.\]
- \(x = 13\): \(y = 11 - 26 = -15\).
- \(x = 6\): \(y = 11 - 12 = -1\).
Проверка \((13; -15)\): \((-2)(-5) = 10\), \((-2)(-10) = 20\). Проверка \((6; -1)\): \(5 \cdot 2 = 10\), \(5 \cdot 4 = 20\).
Ответ
(13; −15), (6; −1)
Почему так
Деление уравнений с общим множителем понижает степень системы.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».