Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 852

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите систему (x² + y²)(x − y) = 447, xy(x − y) = 210. (повышенной трудности)

Решение

Идея: вычесть из первого уравнения удвоенное второе — получится куб разности.

\[(x^2 + y^2)(x - y) - 2xy(x - y) = 447 - 420,\]

(x^2 - 2xy + y^2)(x - y) = 27,\quad (x - y)^3 = 27,\quad x - y = 3.

Подставим во второе уравнение: $$3xy = 210$$ , $$xy = 70$$ .

Из $$x = y + 3$$ : $$y(y + 3) = 70$$ , $$y^2 + 3y - 70 = 0$$ , $$y = 7$$ или $$y = -10$$ .

$$y = 7$$ : $$x = 10$$ .
$$y = -10$$ : $$x = -7$$ .

Проверка $$(10; 7)$$ : $149 \cdot 3 = 447$ , $70 \cdot 3 = 210$ .

Ответ

(10; 7), (−7; −10)

Почему так

Комбинация уравнений даёт (x − y)³, после чего система сводится к x − y = 3, xy = 70.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите систему xy(x + y) = 30, x³ + y³ = 35. (повышенной трудности)

Решение

Идея: $$(x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y)$$ — обе части уже известны.

(x + y)^3 = 35 + 3 \cdot 30 = 125 \quad\Rightarrow\quad x + y = 5.

Из первого уравнения $$5xy = 30$$ , $$xy = 6$$ .

По теореме, обратной теореме Виета, $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения $$t^2 - 5t + 6 = 0$$ : $$t = 2$$ или $$t = 3$$ .

Проверка $$(2; 3)$$ : $6 \cdot 5 = 30$ , $$8 + 27 = 35$$ .

Ответ

(2; 3), (3; 2)

Почему так

Формула куба суммы связывает x³ + y³ с x + y и xy.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/zadachi-povyshennoj-trudnosti/upr-852/