Задача 1
Решите систему x³ − y³ = 19(x − y), x³ + y³ = 7(x + y). (повышенной трудности)
Решение
Идея: разложить по формулам \(x^3 \mp y^3 = (x \mp y)(x^2 \pm xy + y^2)\) и разобрать случаи, когда \(x - y\) или \(x + y\) равны нулю.
1) \(x = y\). Первое уравнение выполнено (\(0 = 0\)), второе: \(2x^3 = 14x\), \(x(x^2 - 7) = 0\), \(x = 0\) или \(x = \pm\sqrt7\). Решения \((0; 0)\), \((\sqrt7; \sqrt7)\), \((-\sqrt7; -\sqrt7)\).
2) \(x = -y\), \(x \ne 0\). Второе выполнено (\(0 = 0\)). Первое: \(2x^3 = 38x\), \(x^2 = 19\). Решения \((\sqrt{19}; -\sqrt{19})\), \((-\sqrt{19}; \sqrt{19})\).
3) \(x \ne y\), \(x \ne -y\). Тогда
Всего девять решений.
Ответ
Разложение разности и суммы кубов на множители и разбор случаев, когда множитель равен нулю.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».