Задача 1
Условие (кратко)
Найдите все решения системы x³ + x³y³ + y³ = 12, x + xy + y = 0. (повышенной трудности)
Решение
Идея: система симметрична — ввести \(u = x + y\), \(v = xy\).
Второе уравнение: \(u + v = 0\), то есть \(v = -u\).
\(x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y) = u^3 - 3uv = u^3 + 3u^2\), \(\ x^3y^3 = v^3 = -u^3\).
Первое уравнение:
\[u^3 + 3u^2 - u^3 = 12,\quad 3u^2 = 12,\quad u = \pm 2.\]
- \(u = 2\), \(v = -2\): \(t^2 - 2t - 2 = 0\), \(t = 1 \pm \sqrt3\). Решения \((1 + \sqrt3; 1 - \sqrt3)\), \((1 - \sqrt3; 1 + \sqrt3)\).
- \(u = -2\), \(v = 2\): \(t^2 + 2t + 2 = 0\), \(D = 4 - 8 < 0\) — действительных решений нет.
Ответ
(1 + √3; 1 − √3), (1 − √3; 1 + √3)
Почему так
Симметричная система решается заменой u = x + y, v = xy.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».