Задача 1
Условие (кратко)
Решите уравнение (x + 3)⁴ + (x + 5)⁴ = 4. (повышенной трудности)
Решение
Идея: замена \(y = x + 4\) (среднее между \(x + 3\) и \(x + 5\)) делает уравнение симметричным, нечётные степени \(y\) сокращаются.
\(x + 3 = y - 1\), \(x + 5 = y + 1\):
\[(y - 1)^4 + (y + 1)^4 = 4.\]
\((y \pm 1)^4 = y^4 \pm 4y^3 + 6y^2 \pm 4y + 1\), сумма:
\[2y^4 + 12y^2 + 2 = 4 \quad\Rightarrow\quad y^4 + 6y^2 - 1 = 0.\]
Биквадратное: \(y^2 = -3 \pm \sqrt{10}\). Подходит только \(y^2 = \sqrt{10} - 3 > 0\) (так как \(\sqrt{10} > 3\)).
\[y = \pm\sqrt{\sqrt{10} - 3},\qquad x = y - 4 = -4 \pm \sqrt{\sqrt{10} - 3}.\]
Ответ
x = −4 − √(√10 − 3) или x = −4 + √(√10 − 3)
Почему так
Симметризующая замена y = x + 4 сводит уравнение к биквадратному.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».