Задача 1
Условие (кратко)
Решите уравнение (x² + x)⁴ − 1 = 0. (повышенной трудности)
Решение
Идея: замена \(t = x^2 + x\): \(t^4 = 1\).
\(t^4 - 1 = (t^2 - 1)(t^2 + 1) = 0\); \(t^2 + 1 > 0\), поэтому \(t = 1\) или \(t = -1\).
- \(x^2 + x = 1\): \(x^2 + x - 1 = 0\), \(x = \dfrac{-1 \pm \sqrt5}{2}\).
- \(x^2 + x = -1\): \(x^2 + x + 1 = 0\), \(D = 1 - 4 < 0\) — корней нет.
Ответ
x = (−1 − √5)/2 или x = (−1 + √5)/2
Почему так
Замена t = x² + x сводит уравнение к t⁴ = 1.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».