Задача 1
Условие (кратко)
Решите систему ∛x + ∛y = 3, xy = 8. (повышенной трудности)
Решение
Идея: ввести \(u = \sqrt[3]{x}\), \(v = \sqrt[3]{y}\); тогда \(xy = (uv)^3\).
\[\begin{cases} u + v = 3, \\ (uv)^3 = 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u + v = 3, \\ uv = 2. \end{cases}\]
\(u\) и \(v\) — корни уравнения \(t^2 - 3t + 2 = 0\): \(t = 1\) или \(t = 2\).
- \(u = 1\), \(v = 2\): \(x = 1\), \(y = 8\).
- \(u = 2\), \(v = 1\): \(x = 8\), \(y = 1\).
Проверка: \(1 + 2 = 3\), \(1 \cdot 8 = 8\).
Ответ
(1; 8), (8; 1)
Почему так
Замена u = ∛x, v = ∛y приводит к симметричной системе u + v = 3, uv = 2.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».