Задача 1
Условие (кратко)
Решите систему ∛(x/y) + ∛(y/x) = 4,25, x + y = 130. (повышенной трудности)
Решение
Идея: слагаемые первого уравнения взаимно обратны — замена \(t = \sqrt[3]{x/y}\).
(\(x \ne 0\), \(y \ne 0\).) Первое уравнение: \(t + \dfrac1t = \dfrac{17}{4}\), то есть
\[4t^2 - 17t + 4 = 0,\quad t = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{8} = \frac{17 \pm 15}{8},\quad t = 4\ \text{или}\ t = \tfrac14.\]
- \(t = 4\): \(\dfrac{x}{y} = 64\), \(x = 64y\); \(65y = 130\), \(y = 2\), \(x = 128\).
- \(t = \tfrac14\): \(\dfrac{x}{y} = \dfrac1{64}\), \(y = 64x\); \(65x = 130\), \(x = 2\), \(y = 128\).
Проверка \((128; 2)\): \(\sqrt[3]{64} + \sqrt[3]{1/64} = 4 + 0{,}25 = 4{,}25\); \(128 + 2 = 130\).
Ответ
(128; 2), (2; 128)
Почему так
Замена t = ∛(x/y) сводит первое уравнение к t + 1/t = 4,25.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».