Задача 1
Условие (кратко)
Знаменатель обыкновенной дроби на 1 меньше квадрата числителя. Если числитель и знаменатель увеличить на 2, дробь станет больше 1/4, а если уменьшить на 3 — меньше 1/10. Найдите такие дроби. (повышенной трудности)
Решение
Дано
- дробь \(\dfrac{a}{b}\)
- \(a\) и \(b\) — натуральные
- \(b = a^2 - 1\); \(\dfrac{a+2}{b+2} > \dfrac{1}{4}\)
- \(\dfrac{a-3}{b-3} < \dfrac{1}{10}\)
Найти
- дроби
Идея: выразить знаменатель через числитель и получить два неравенства с одной переменной \(a\).
- Знаменатель натуральный: \(b = a^2 - 1 \ge 1\), значит, \(a \ge 2\).
- После уменьшения на 3 знаменатель равен \(a^2 - 4\). При \(a = 2\) он равен нулю — дробь не имеет смысла, поэтому \(a \ge 3\), и тогда \(a^2 - 4 > 0\).
- Первое условие: \(b + 2 = a^2 + 1 > 0\), умножаем на \(4(a^2+1)\):
\[4(a+2) > a^2 + 1 \;\Leftrightarrow\; a^2 - 4a - 7 < 0.\]Корни трёхчлена \(2 \pm \sqrt{11}\), то есть примерно \(-1{,}3\) и \(5{,}3\). Неравенство верно при \(2 - \sqrt{11} < a < 2 + \sqrt{11}\); натуральные \(a \ge 3\) отсюда: \(3,\ 4,\ 5\).
- Второе условие (знаменатель \(a^2 - 4 > 0\)):
\[10(a - 3) < a^2 - 4 \;\Leftrightarrow\; a^2 - 10a + 26 > 0.\]Дискриминант \(100 - 104 < 0\), старший коэффициент положителен — неравенство верно при любом \(a\).
- Значит, \(a = 3,\ 4,\ 5\), \(b = 8,\ 15,\ 24\).
Проверка для \(\dfrac{5}{24}\): \(\dfrac{7}{26} > \dfrac{1}{4}\), так как \(28 > 26\); \(\dfrac{2}{21} < \dfrac{1}{10}\), так как \(20 < 21\).
Ответ
3/8, 4/15, 5/24
Почему так
Знаменатель выражаем через числитель, и оба условия становятся квадратными неравенствами относительно числителя.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».