Задача 1
Условие (кратко)
Решите систему уравнений: x + xy + y = 5, y + yz + z = 11, z + zx + x = 7. (повышенной трудности)
Решение
Идея: прибавить к каждому уравнению 1 — левые части разложатся на множители.
\(x + xy + y + 1 = (x+1)(y+1)\). Обозначим \(u = x + 1\), \(v = y + 1\), \(w = z + 1\):
\[\begin{cases} uv = 6, \\ vw = 12, \\ wu = 8. \end{cases}\]
Перемножим уравнения: \((uvw)^2 = 6 \cdot 12 \cdot 8 = 576\), откуда \(uvw = 24\) или \(uvw = -24\).
- \(uvw = 24\): \(u = \dfrac{uvw}{vw} = \dfrac{24}{12} = 2\), \(v = \dfrac{24}{8} = 3\), \(w = \dfrac{24}{6} = 4\). Тогда \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 3\).
- \(uvw = -24\): \(u = -2\), \(v = -3\), \(w = -4\), то есть \(x = -3\), \(y = -4\), \(z = -5\).
Проверка \((-3; -4; -5)\): \(-3 + 12 - 4 = 5\), \(-4 + 20 - 5 = 11\), \(-5 + 15 - 3 = 7\) — верно.
Ответ
(1; 2; 3), (−3; −4; −5)
Почему так
Прибавив 1, получаем произведения (x+1)(y+1) и т. д.; перемножение уравнений даёт произведение всех трёх множителей.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».