Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что при любом a выполняется неравенство 1/3 ≤ (a² − a + 1)/(a² + a + 1) ≤ 3. (повышенной трудности)
Решение
Идея: знаменатель всегда положителен, поэтому на него можно умножить, а разность свести к полному квадрату.
Знаменатель: \(a^2 + a + 1 = \left(a + \dfrac12\right)^2 + \dfrac34 > 0\) при любом \(a\).
Левое неравенство. Умножим на \(3(a^2 + a + 1) > 0\):
\[a^2 + a + 1 \le 3a^2 - 3a + 3 \;\Leftrightarrow\; 0 \le 2a^2 - 4a + 2 = 2(a - 1)^2.\]
Это верно при любом \(a\) (равенство при \(a = 1\)).
Правое неравенство. Умножим на \(a^2 + a + 1 > 0\):
\[a^2 - a + 1 \le 3a^2 + 3a + 3 \;\Leftrightarrow\; 0 \le 2a^2 + 4a + 2 = 2(a + 1)^2.\]
Тоже верно при любом \(a\) (равенство при \(a = -1\)).
Оба преобразования равносильны, значит, двойное неравенство доказано.
Ответ
Доказано: после умножения на положительный знаменатель неравенства сводятся к 2(a − 1)² ≥ 0 и 2(a + 1)² ≥ 0.
Почему так
Неравенство с положительным знаменателем сводится к неотрицательности квадрата.
Подробнее — в теме «Сравнение действительных чисел».