Задача 1
Условие (кратко)
Производительность третьего рабочего равна полусумме производительностей первого и второго. Если бы третий проработал 48 ч, первому осталось бы работы на 10 ч, второму — на 15 ч. За сколько часов каждый выполнит всю работу? (повышенной трудности)
Решение
Дано
- \(p_3 = \dfrac{p_1 + p_2}{2}\); \(48p_3 + 10p_1 = 1\)
- \(48p_3 + 15p_2 = 1\) (вся работа — 1
- \(p_1\)
- \(p_2\)
- \(p_3\) — производительности
- части работы в час)
Найти
- \(\dfrac{1}{p_1}\)
- \(\dfrac{1}{p_2}\)
- \(\dfrac{1}{p_3}\)
Идея: из двух последних уравнений сразу видно соотношение \(p_1\) и \(p_2\).
- Вычтем уравнения: \(10p_1 = 15p_2\), значит, \(p_1 = 1{,}5p_2\).
- Тогда \(p_3 = \dfrac{1{,}5p_2 + p_2}{2} = 1{,}25p_2\).
- Подставим во второе уравнение: \(48 \cdot 1{,}25p_2 + 15p_2 = 60p_2 + 15p_2 = 75p_2 = 1\), \(p_2 = \dfrac{1}{75}\).
- \(p_1 = \dfrac{1{,}5}{75} = \dfrac{1}{50}\), \(p_3 = \dfrac{1{,}25}{75} = \dfrac{1}{60}\).
Первый рабочий выполнит работу за 50 ч, второй — за 75 ч, третий — за 60 ч.
Проверка: \(\dfrac{48}{60} + \dfrac{10}{50} = 0{,}8 + 0{,}2 = 1\); \(0{,}8 + \dfrac{15}{75} = 1\); \(\dfrac12\left(\dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{75}\right) = \dfrac{1}{60}\).
Ответ
Первый — за 50 ч, второй — за 75 ч, третий — за 60 ч
Почему так
Работу принимаем за 1 и составляем уравнения для производительностей; вычитание даёт их отношение.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».