Задача 1
Условие (кратко)
Существует ли двузначное число, которое при делении на сумму квадратов своих цифр даёт в частном 2 и в остатке 6, а при делении на произведение цифр — в частном 4 и в остатке 6? (повышенной трудности)
Решение
Дано
- число \(10a + b\)
- \(a\)
- \(b\) — цифры
- \(a \ne 0\)
- \(b \ne 0\) (иначе произведение цифр равно нулю); \(10a + b = 2(a^2 + b^2) + 6\)
- \(10a + b = 4ab + 6\)
Найти
- такое число
Идея: приравнять правые части — получится полный квадрат.
- \(2(a^2 + b^2) + 6 = 4ab + 6\), откуда \(a^2 - 2ab + b^2 = 0\), \((a - b)^2 = 0\), \(a = b\).
- Подставим во второе уравнение: \(11a = 4a^2 + 6\), \(4a^2 - 11a + 6 = 0\), \(D = 121 - 96 = 25\), \(a = \dfrac{11 \pm 5}{8}\), то есть \(a = 2\) или \(a = \dfrac34\). Цифра — только \(a = 2\).
- Кандидат — число 22: сумма квадратов цифр \(4 + 4 = 8\), \(22 = 2 \cdot 8 + 6\) — частное 2, остаток 6, верно (\(6 < 8\)). Произведение цифр \(2 \cdot 2 = 4\), и равенство \(22 = 4 \cdot 4 + 6\) выполняется.
- Но при делении с остатком остаток должен быть меньше делителя, а \(6 > 4\): на самом деле \(22 = 5 \cdot 4 + 2\), частное 5 и остаток 2. Поэтому строго по определению деления с остатком такого числа нет.
В ответах учебника указано «существует; 22» — так получается, если требовать только выполнения равенства \(22 = 4 \cdot 4 + 6\), не проверяя, что остаток меньше делителя.
Ответ
Строго — не существует: единственный кандидат 22 даёт 22 = 4·4 + 6, но остаток 6 больше делителя 4 (в ответах учебника: существует, 22)
Почему так
Приравняв два выражения числа, получаем (a − b)² = 0; найденное число надо проверить по определению деления с остатком.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».